Question

【題目】已知橢圓： 的上下兩個焦點分別為， ，過點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點， 的面積為，橢圓的離心力為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）已知為坐標原點，直線： 與軸交于點，與橢圓交于， 兩個不同的點，若存在實數，使得，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）根據題目條件，由橢圓焦點坐標和對稱性計算的面積，建立等式關系，結合關系式，離心率計算公式，問題可得解；（Ⅱ）由題意，可分直線是否過原點，對截距進行分類討論，再利用橢圓對稱性、向量共線、直線與橢圓有交點等性質、條件進行運算即可.

試題解析：（Ⅰ）根據已知橢圓的焦距為，當時， ，

由題意的面積為，

由已知得，∴，∴，

∴橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）若，則，由橢圓的對稱性得，即，

∴能使成立．

若，由，得，

因為， ， 共線，所以，解得．　

設， ，由

得，

由已知得，即，

且， ，

由，得，即，∴，

∴，即．

當時， 不成立，∴，

∵，∴，即，

∴，解得或．

綜上所述， 的取值范圍為．