Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣e﹣x ， 下列命題正確的有 ． （寫出所有正確命題的編號）
①f（x）是奇函數；
②f（x）在R上是單調遞增函數；
③方程f（x）=x2+2x有且僅有1個實數根；
④如果對任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值為2．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：根據題意，依次分析4個命題：
對于①、f（x）=ex﹣e﹣x ， 定義域是R，且f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣f（x），f（x）是奇函數；故①正確；
對于②、若f（x）=ex﹣e﹣x ， 則f′（x）=ex+e﹣x＞0，故f（x）在R遞增；故②正確；
對于③、f（x）=x2+2x，令g（x）=ex﹣e﹣x﹣x2﹣2x，
令x=0可得，g（0）=0，即方程f（x）=x2+2x有一根x=0，
g（3）=e3﹣ ﹣13＜0，g（4）=e4﹣ ﹣20＞0，
則方程f（x）=x2+2x有一根在（3，4）之間，
故③錯誤；
對于④、如果對任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，即ex﹣e﹣x﹣kx＞0恒成立，
令h（x）=ex﹣e﹣x﹣kx，且h（0）=0，
若h（x）＞0恒成立，則必有h′（x）=ex+e﹣x﹣k＞0恒成立，
若ex+e﹣x﹣k＞0，即k＜ex+e﹣x=ex+ 恒成立，
而ex+ ≥2，若有k＜2，
故④正確；
綜合可得：①②④正確；
所以答案是：①②④．
【考點精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應用的相關知識點，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能正確解答此題．