Question

【題目】已知橢圓（）的焦點分別為，，離心率，過左焦點的直線與橢圓交于，兩點，，且.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點的直線與橢圓有兩個不同的交點，，且點在點，之間，試求和面積之比的取值范圍（其中為坐標原點）.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】試題分析：（1）先根據正弦定理將角化為邊，再根據橢圓定義得，求得，根據離心率求得，，（2）兩面積之比等于A,B兩點縱坐標之比，所以先設的方程為，與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理得，令，消元可得，即. 根據判別式大于零得.解不等式可得取值范圍

試題解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，由橢圓定義得，所以，故，又，所以，，所以橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）依題意知直線的斜率存在且不為0，設的方程為，與橢圓方程聯立，

消去x整理得，

由，解得.

設,則

令，則，且.

將代人①②得，消去得，

即.

由，得，所以且,

解得或.

又，∴，故和面積之比的取值范圍為.