Question

【題目】函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a≤0時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是；時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，的單調(diào)遞增區(qū)間是．(Ⅱ) 證明見解析．

【解析】試題分析：

（1）求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)對(duì)的分類討論，找到導(dǎo)數(shù)正負(fù)區(qū)間，即可求出；

（2）求出函數(shù)的最小值，轉(zhuǎn)化為證≥，構(gòu)造，求其最小值，即可解決問題.

試題解析：

（Ⅰ）．

當(dāng)a≤0時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由解得，由解得．

即在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

綜上，a≤0時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是；時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，的單調(diào)遞增區(qū)間是．

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，

則．

要證≥，即證≥，即+≥0，

即證≥．構(gòu)造函數(shù)，則，

由解得，由解得，

即在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

∴ ，

即≥0成立．從而≥成立．