Question

【題目】如圖所示，已知點G是△ABO的重心．
（1）求 + + ；
（2）若PQ過△ABO的重心G，且 = ， = ， =m ， =n ，求證： + =3．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵M為AB中點，∴ = （ + ）．

又G為△ABO的重心，∴ = ，

∴ + + =2 ﹣2 =

（2）證明：由 = （a+b）得， = = （a+b）．

由于P，G，Q三點共線，∴存在實數λ使得 =λ ．

而 = ﹣ =（ ﹣m）a+ b， = ﹣ =﹣ a+（n﹣ ）b，

則（ ﹣m）a+ b=λ[﹣ a+（n﹣ ）b]，

∴ ，消去λ整理得 + =3

【解析】（1）利用向量的線性運算，結合點G是△ABO的重心，即可得到結論；（2）由于P，G，Q三點共線，利用向量共線定理，可得存在實數λ使得 =λ ，利用平面向量基本定理，可得方程組，消去λ，即可得到結論．