Question

【題目】如圖，在矩形 中，點 在線段 上， ， ，沿直線 將 翻折成 ，使點 在平面 上的射影 落在直線 上.
（Ⅰ）求證：直線 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：在線段 上取點 ，使 ，連接 交 于點 .

正方形 中， ， 翻折后， ， ，
又 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面
又 平面 平面 ，
點 在平面 上的射影 落在直線 上，
又 點 在平面 上的射影 落在直線 上，
點 為直線 與 的交點，
平面 即平面 ， 直線 平面 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 是二面角 的平面角的平面角.
，在矩形 中，可求得 ， .
在 中， ，
二面角 的平面角的余弦值為 .
【解析】(1)通過證明直線與平面圖內兩條相交直線都垂直來證明直線與平面垂直;
(2)先找到二面角的一個平面圖角,再在三角形中通過解三角形求角.