Question

【題目】已知函數 （ 為常數）與 軸有唯一的公關點 ．
（Ⅰ）求函數 的單調區間；
（Ⅱ）曲線 在點 處的切線斜率為 ，若存在不相等的正實數 ，滿足 ，證明： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為函數 的定義域為 ，且 ，
故由題意可知曲線 與 軸存在公共點 ，又 ，則有
當 時， ，函數 在定義域上遞增，滿足條件；
當 時，函數 在 上遞減，在 上遞增，
①若 時，則 ，取 ，則 ，
故由零點存在定理可知，函數 在 上還有一個零點，因此不符合題意；
②若 ，則函數 的極小值為 ，符合題意；
③若 ，則由函數 的單調性，有 ，取 ，有 ．下面研究函數
， ，因為 恒成立，故函數 在 上遞增，故 ，故 成立，函數 在區間 上存在零點．
不符合題意．
綜上所述：
當 時，函數 的遞增區間為 ，遞減區間為 ；
當 時，函數 的遞增區間為 ，無遞減區間．
（Ⅱ）容易知道函數 在 處的切線斜率為 ，得 ，
由（Ⅰ）可知 ，且函數 在區間 上遞增．
不妨設 ，因為 ，則 ，
則有 ，整理得 ，
由基本不等式得 ，故 ，整理得 ，即 ．
由函數 在 上單調遞增，所以 ，即 ．
【解析】(1)根據題意由函數 f ( x ) = x a ln x 1 的定義域為 ( 0 , + ∞ ) ，且 f ( 1 ) = 0 ，故由題意可知曲線 f ( x ) 與 x 軸存在公共點 A ( 1 , 0 )，對f(x) 求導借助導函數的正負關系求出原函數的單調性，再利用零點定理對a分情況討論即可得出結論。(2)利用(1)的結論可求出導函數在切點的函數值即為直線的斜率值，進而得到a的值再利用增函數的定義以及基本不等式即可證明結論。