Question

如右下圖,在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,已知AB=" 4," AD ="3," AA₁= 2。 E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB= FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C₁的余弦值;
(2) 求直線EC₁與FD₁所成的余弦值.

Answer 1

解：（I）（法一）矩形ABCD中過C作CHDE于H，連結(jié)C₁H
CC₁面ABCD，CH為C₁H在面ABCD上的射影
C₁HDE  C₁HC為二面角C—DE—C₁的平面角
矩形ABCD中得EDC=，DCH中得CH=，
又CC₁=2，
C₁HC中，，
C₁HC
二面角C—DE—C₁的余弦值為             7分
（2）以D為原點，分別為x軸，y軸,z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則有A(3,0,0)、D₁(0,0,2)、B（3，4，0），E(3,3,0)、F(2，4,0)、C₁(0,4,2)
設(shè)EC₁與FD₁所成角為β，則
   
故EC₁與FD₁所成角的余弦值為          14分
（法二）（1）以D為原點，分別為x軸，y軸,z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則有A(3,0,0)、D₁(0,0,2)、B（3，4，0），E(3,3,0)、F(2，4,0)、C₁(0,4,2)
于是，，，
設(shè)向量與平面C₁DE垂直，則有
，
令，則         
又面CDE的法向量為
                    7分
由圖，二面角C—DE—C₁為銳角，故二面角C—DE—C₁的余弦值為    8分
（II）設(shè)EC₁與FD₁所成角為β，則
 
故EC₁與FD₁所成角的余弦值為                               14分

略