Question

已知函數在處存在極值.
(1)求實數的值；
(2)函數的圖像上存在兩點A，B使得是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在軸上，求實數的取值范圍；
(3)當時，討論關于的方程的實根個數.

Answer 1

(1) .（2）的取值范圍是.（3）①當或時，方程有兩個實根；②當時，方程有三個實根；③當時，方程有四個實根.

試題分析：（1）求導得，將代入解方程組即得.(2) 由（1）得根據條件知A,B的橫坐標互為相反數，不妨設.接下來根據大于等于1和小于1分別求解.(3)由方程
知，顯然0一定是方程的根，所以僅就時進行研究，這時方程等價于，構造函數，利用導數作出的圖象即可得方程的要的個數.
試題解析：（1）當時，.      1分
因為函數在處存在極值，所以
解得.      4分
(2) 由（I）得
根據條件知A,B的橫坐標互為相反數，不妨設.
若，則，
由是直角得，，即，
即.此時無解；      6分
若，則. 由于AB的中點在軸上，且是直角，所以B點不可能在軸上，即. 同理有，即，.
因為函數在上的值域是，
所以實數的取值范圍是.      8分
（3）由方程，知，可知0一定是方程的根， 10分
所以僅就時進行研究：方程等價于
構造函數
對于部分，函數的圖像是開口向下的拋物線的一部分，
當時取得最大值，其值域是；
對于部分，函數，由，
知函數在上單調遞增.
所以，①當或時，方程有兩個實根；
②當時，方程有三個實根；
③當時，方程有四個實根.       14分