Question

已知函數，其中.
（Ⅰ）若，求的值，并求此時曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求函數在區間上的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）、；（Ⅱ）當時；當時，；當時，的最小值為。

試題分析：（Ⅰ）先求導，代入0可求得a的值。再將代入原函數求，既得切點坐標，再將代入導函數求，根據導數的幾何意義可知即為切線在點處切線的斜率，根據直線方程的點斜式即可求得切線方程。（Ⅱ）先求導數，及其零點，判斷導數符號變化，即可得原函數增減變化，可得其極值。再求其端點處的函數值。比較極值和端點處函數值最小的一個即為最小值。此題注意分類討論。
試題解析：解：（Ⅰ）已知函數，
所以，，
又，所以.
又，
所以曲線在點處的切線方程為.       5分
（Ⅱ），
令，則.
（1）當時，在上恒成立，所以函數在區間上單調遞增，所以；
（2）當時，在區間上，，在區間上，，所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，且是
上唯一極值點，所以；
（3）當時，在區間上，（僅有當時），所以 在區間上單調遞減
所以函數.
綜上所述，當時，函數的最小值為，
時，函數的最小值為                  13分