Question

已知x＝3是函數f(x)＝aln(1＋x)＋x²－10x的一個極值點．
(1)求a；
(2)求函數f(x)的單調區間；
(3)若直線y＝b與函數y＝f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）a＝16（2）單調增區間為(－1,1)，(3，＋∞)，單調減區間為(1,3)．（3）(32ln 2－21,16ln 2－9)

f(x)的定義域為(－1，＋∞)．
(1)f′(x)＝＋2x－10，又f′(3)＝＋6－10＝0，
∴a＝16.經檢驗此時x＝3為f(x)的極值點，故a＝16.
(2)由(1)知f′(x)＝.
當－1<x<1或x>3時，f′(x)>0；
當1<x<3時，f′(x)<0.
∴f(x)的單調增區間為(－1,1)，(3，＋∞)，
單調減區間為(1,3)．
(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，在(3，＋∞)上單調遞增，且當x＝1或x＝3時，f′(x)＝0.所以f(x)的極大值為f(1)＝16ln 2－9，極小值為f(3)＝32ln 2－21.
因為f(16)>16²－10×16>16ln 2－9＝f(1)，
f(e^－2－1)<－32＋11＝－21<f(3)，
所以根據函數f(x)的大致圖象可判斷，在f(x)的三個單調區間(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)內，直線y＝b與y＝f(x)的圖象各有一個交點，當且僅當f(3)<b<f(1)．
因此b的取值范圍為(32ln 2－21,16ln 2－9)．