Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， 為的中點， .

（1）證明： 平面；

（2）若，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：

（1）要證直線與平面垂直，就要證與平面內兩條相交直線垂直，由已知， 為中點可證，從而可得，另外直三棱柱的底面是直角三角形，因此有與側面垂直，從而得，這樣由線面垂直的判定定理可得線面垂直；

（2）要求到平面的距離，可用體積法求得，首先求出的面積，通過計算求出（已知除外）三邊長，另外的體積可通過來求，這里到平面的距離就是（（1）中已證），體積可求．

試題解析：

（1）證明：

∵直三棱柱，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴平面.

∵平面，

∴，

∵為的中點，

∴，

∴與相似，且有，

∵，

∴ ；

（2）在矩形中， 為的中點，

可得，

在，由可得，

從而可求得，

顯然有，即，

為點到平面的距離，

∵平面，

由，可得，

計算得， ，

∴，可推出，

∴點到平面的距離是.