Question

【題目】已知直線與、軸交于、兩點.

（Ⅰ）若點、分別是雙曲線的虛軸、實軸的一個端點，試在平面上找兩點、，使得雙曲線上任意一點到、這兩點距離差的絕對值是定值.

（Ⅱ）若以原點為圓心的圓截直線所得弦長是，求圓的方程以及這條弦的中點.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ， 或， ．(Ⅱ)圓的方程為，弦的中點為．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由幾何關(guān)系可知， 是雙曲線的焦點，則， 或， ；

(Ⅱ)利用弦長公式可求得半徑為3，求得圓的方程為，則弦的中點為．

試題解析：

（Ⅰ）∵直線與軸， 軸交于， 兩點，∴， ，

又、分別是雙曲線的虛軸，實軸的一個端點，

∴雙曲線中， ， ，

由題可知， 是雙曲線的焦點，

∴， 或， ．

（Ⅱ）圓心到直線的距離，

∴，

∴圓的方程為，

設(shè)的中點為則：

，解，

即弦的中點為．