Question

【題目】如圖所示的多面體中，ABCD是平行四邊形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠ABD= ，AB=2AD．
（Ⅰ）求證：平面BDEF⊥平面ADE；
（Ⅱ）若ED=BD，求AF與平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：設(shè)AD=a，AD=2a，∠ABD= ， ∴cos∠ABD= = ，解得BD= a，
∴BD2+AD2=AB2 ， 即BD⊥AD．
∵DE⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
∴DE⊥BD，又AD∩DE=D，AD平面ADE，DE平面ADE，
∴BD⊥平面ADE，又BD平面BDEF，
∴平面BDEF⊥平面ADE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）AD⊥BD，BD= AD，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線DA，DB，DE分別為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)AD=1，則A（1，0，0）， ， ， ．
=（﹣1，0， ）， =（﹣2， ，0）， ，
設(shè)平面AEC的法向量為 ，則 ，∴ ，
令z=1，得 ，
∴ = = ．
所以直線AF與平面AEC所成角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）利用余弦定理得出BD= AD，由勾股定理即可得出AD⊥BD，再由DE⊥平面ABCD得出DE⊥BD，從而有BD⊥ADE，故平面BDEF⊥平面ADE；（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面AEC的法向量 ，計(jì)算 與 的夾角即可得出線面角的大小．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直，以及對(duì)空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．