Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB1=3，AC=BC=2，D，E分別為AB，BC的中點，F為BB1上一點，且 = ．
（1）求證：平面CDF⊥平面A1C1E；
（2）求二面角C1﹣CD﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以C為原點，分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標系，

∵BB1=3，AC=BC=2，D，E分別為AB，BC的中點， = ．

∴C（0，0，0），D（1，1，0），F（0，2， ），E（0，1，0），A1（2，0，3），C1（0，0，3）．

， ， ．

設平面CDF的一個法向量為 ，

則 ，取y=﹣1，得 ；

再平面A1C1E的一個法向量為 ，

則 ，取z=1，得 ．

∵ ，

∴ ，則平面CDF⊥平面A1C1E；

（2）解：由（1）知，平面CDF的一個法向量 ，

又平面C1CD的一個法向量 ，

∴cos＜ ＞= = ，

∵二面角C1﹣CD﹣F為銳角，

∴二面角C1﹣CD﹣F的余弦值為 ．

【解析】（1）以C為原點，分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標系，再由已知求出C，D，F，E，A1 ， C1的坐標，得到平面CDF與平面A1C1E的一個法向量，由兩法向量垂直可得平面CDF⊥平面A1C1E；（2）由（1）知，平面CDF的一個法向量 ，又平面C1CD的一個法向量 ，由兩法向量所成角的余弦值求得二面角C1﹣CD﹣F的大小．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．