Question

【題目】（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）當(dāng)函數(shù)與函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求的值；

（3）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，分別利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值和的最大值，由此證得不等式成立；（2）當(dāng)函數(shù)與函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn),構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)區(qū)間，由此求得；（3）令，對分成，，，四類，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

試題解析：

（1）令，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，同理可證，故得證．．．．．．．．．．．．．4分

（2）令，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，使，當(dāng)時(shí)，

；，

當(dāng)時(shí)，，∴．8分

（3）令是偶函數(shù)，，時(shí)，，由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，有兩個(gè)零點(diǎn)；

，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù) ，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時(shí)，

，所以，函數(shù)，有四個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，函數(shù)，沒有零點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)．．．．．．．．．．．．．．．．．12分