Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）若的定義域和值域均是，求實數的值；

（Ⅱ）若在區間上是減函數，且對任意的，都有，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若，且對任意的，都存在，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（I）由函數f（x）的解析式，可得函數在（-∞，a]上單調遞減，進而得到f（x）在[1，a]上單調遞減，則，由此構造關于a的方程組，解之可得答案．（Ⅱ）若f（x）在區間（-∞，2]上是減函數，則（-∞，2]（-∞，a]，進而結合x∈[1，a+1]時，f（x）max=f（1），構造關于a的不等式，解不等式，可得答案．（III）由函數g（x）在[0，1]上遞增，f（x）在[0，1]上遞減，可分別求出兩個函數的值域，若對任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=g（x）成立；則兩個函數的值域滿足：[1，3][6-2a，5]，進而可得答案

試題解析：（Ⅰ）∵

∴在上單調遞減，又，∴在上單調遞減，

∴， ∴， ∴

（Ⅱ）∵在區間上是減函數， ∴ ∴

∴，

∴時，

又∵對任意的，都有，

∴， 即 ， ∴

（Ⅲ）∵在上遞增，在上遞減，

當時，，

∵對任意的，都存在，使得成立；

∴

∴