Question

【題目】為了引導居民合理用水，某市決定全面實施階梯水價．階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月用水量為基準定價，具體劃分標準如表：

階梯級別	第一階梯水量	第二階梯水量	第三階梯水量
月用水量范圍(單位：立方米)

從本市隨機抽取了10戶家庭，統計了同一月份的月用水量，得到如圖莖葉圖：

（Ⅰ）現要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯水量的戶數X的分布列與數學期望；

（Ⅱ）用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取10戶，若抽到戶月用水量為一階的可能性最大，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（Ⅰ）由莖葉圖計算，可得第二階段水量的戶數的可能取值為，求解隨機變量取每個值對應的概率，列出隨機變量的分布列，利用公式，求解數學期望；

（Ⅱ）設為從全市抽取的10戶中用水量為一階的家庭戶數，依題意得，根據概率公式，列出不等式組，求得實數的范圍，即可求解的值，得到答案.

（Ⅰ）由莖葉圖可知抽取的10戶中用水量為一階的有3戶，二階的有5戶，三階的有2戶．第二階段水量的戶數的可能取值為0，1，2，3，

，，

，，

所以的分布列為

	0	1	2	3

的數學期望.

（Ⅱ）設為從全市抽取的10戶中用水量為一階的家庭戶數，依題意得，

，

由，解得，又，所以當時概率最大．

即從全市依次隨機抽取10戶，抽到3戶月用水量為一階的可能性最大.