Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A，B是圓O：與x軸的兩個交點（點B在點A右側），點，x軸上方的動點P使直線，，的斜率存在且依次成等差數列.

（1）求證：動點P的橫坐標為定值；

（2）設直線，與圓O的另一個交點分別為S，T.求證：點Q，S，T三點共線.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）設,表示出,,.根據等差中項性質,求得等量關系.由,即可求得,即可證明動點P的橫坐標為定值;

（2）由（1）知,代入,中.分別表示出直線和直線方程,代入圓的方程,求得的坐標.由兩點間斜率公式可表示出,可得,即可證明點Q,S,T三點共線.

（1）證明:由題設知,,.

設（）,則,,.

因為,,成等差數列,

所以,即,

由于,所以,即證；

（2）由（1）可知,,.

直線的方程為,

代入,化簡可得,

于是點S的橫坐標,從而.

同理可得,.

因為,

,

即

所以直線和直線的斜率相等,

故點S,T,Q共線.