Question

【題目】設數列的前項的和為，且，.

（1）證明數列為等比數列，并求出數列的通項公式；

（2）設，求數列的前項的和；

（3）設函數（為常數），且（2）中的＞對任意的和都成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（）；（2）；（3）

【解析】

（1）由，可得時，；，．變形為：，即可證明數列是等比數列，可得．再利用：時，，即可得出；

（2）由（Ⅰ）知，裂項相消法可得；

（3）由對所有的和都成立，可得：，利用數列的單調性與二次函數的單調性即可得出．

（1）證：∵，

∴，

∵，∴，

∴數列是首項為2，公比的等比數列，

∴，即，

當時，，

當時，，滿足上式，

故數列的通項公式（）；

（2）解：∵，

∴=，

（3）解：顯然，故由題知對任意的，都有，

即對任意的恒成立，

∴，即，∴，

故實數的取值范圍是．