Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP⊥BP，AC⊥BC，∠PAB=60°，∠ABC=45°，D是AB中點，E，F分別為PD，PC的中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點M，使得CM∥平面AEF？若存在，求 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵AP⊥BP，D是AB中點，
∴PD=AD，
又∠PAB=60°，∴△PAD是等邊三角形，
又E為PD的中點，∴AE⊥PD，
∵AC⊥BC，∠ABC=45°，
又D是AB的中點，∴CD⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC，又平面PAB∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面PAB，∵AE平面PAB，∴CD⊥AE，
又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：以A為原點，作Ax∥DC，以AB所在直線為y軸，建立空間直角坐標系，
設AB=2a，則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0， ），
∵CD⊥平面PAB，∴平面PAB的一個法向量為 =（﹣a，0，0），
設平面PAC的一個法向量為 =（x，y，z），
則 ，令x=1，得 =（1，﹣1， ），
設二面角B﹣PA﹣C的平面角為θ，
由圖知，二面角B﹣PA﹣C為銳角，
∴cosθ= = = ，
∴二面角B﹣PA﹣C的余弦值為 ．
（Ⅲ）PB上存在M，使得CM∥平面AEF，此時 = ．
證明：在平面ABP中，延長AE交BP為G，
取BG中點M，∵M為BG中點，D為AB中點，
∴DM∥AG，又E為PD中點，∴G為PM中點，
此時， = ，∴DM∥AE，
∵DM面AEF，AE面AEF，
∴DM∥平面AEF，
∵E，F分別是PD，PC的中點，
∴CD∥EF，CD面AEF，EF平面AEF，
∴CD∥平面AEF，CD∩DM=D，CD面CDM，DM面CDM，
∴面CDM∥面AEF，
∵CM面CDM，∴CM∥面AEF．

【解析】（Ⅰ）推導出PD=AD，從而△PAD是等邊三角形，進而AE⊥PD，再求出CD⊥AB，從而CD⊥平面PAB，進而CD⊥AE，由此能證明AE⊥平面PCD．（Ⅱ）以A為原點，作Ax∥DC，以AB所在直線為y軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣C的余弦值．（Ⅲ）在平面ABP中，延長AE交BP為G，取BG中點M，推導出G為PM中點，此時， = 從而DM∥平面AEF，推導出面CDM∥面AEF，從而得到CM∥面AEF．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．