Question

【題目】已知函數f（x）=2lnx+ ﹣mx（m∈R）．
（Ⅰ）當m=﹣1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上為單調遞減，求m的取值范圍；
（Ⅲ）設0＜a＜b，求證： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）m=﹣1時，f（x）=2lnx+ +x，
∴f′（x）= ﹣ +1，f（1）=2，f′（1）=2，
故切線方程是：y﹣2=2（x﹣1），
即2x﹣y=0；
（Ⅱ）f′（x）= ﹣ ﹣m≤0在x∈（0，+∞）恒成立，
即m≥ ﹣ 在x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）= ﹣ ，（x＞0），
∴m≥g（x）max ，
g（x）=﹣ +1，當 =1時，g（x）max=1，
故m≥1；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）m=1時，
f（x）=2lnx+ ﹣x在x∈（0，+∞）上遞減，
∵0＜a＜b，∴ ＞1，
∴f（ ）＜f（1），
∴2ln + ﹣ ＜0，
lnb﹣lna＜ ，
即
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數的導數，問題轉化為m≥ ﹣ 在x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）= ﹣ ，（x＞0），根據函數的單調性求出m的范圍即可；（Ⅲ）取m=1，根據函數的單調性得到f（ ）＜f（1），即2ln + ﹣ ＜0，從而證明結論即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．