Question

【題目】根據題意解答
（1）已知a為常數，且0＜a＜1，函數f（x）=（1+x）a﹣ax，求函數f（x）在x＞﹣1上的最大值；
（2）若a，b均為正實數，求證：ab+ba＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=（1+x）a﹣ax，求導f′（x）=a（1+x）a﹣1﹣a=a[（1+x）a﹣1﹣1]，

當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，當x＞0，f′（x）＜0，

∴f（x）在x=0處取極大值，也是最大值f（0）=1，

∴f（x）的最大值為1；

（2）證明：①當a，b中有一個大于1時，不妨設a≥1，

ab+ba＞ab＞1，

②當a，b均屬于（0，1），設a= ，b= ，（m，n＞0），

則ab= = ≥ = ，

同理可知：ba≥ ，

∴ab+ba＞ + = ＞1，

∴ab+ba＞1．

【解析】（1）由f′（x）=a（1+x）a﹣1﹣a=a[（1+x）a﹣1﹣1]，當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，當x＞0，f′（x）＜0，f（x）在x=0處取極大值，也是最大值f（0）=1；（2）①當a，b中有一個大于1時，不妨設a≥1，ab+ba＞ab＞1，②當a，b均屬于（0，1），設a= ，b= ，（m，n＞0），則ab= = ≥ = ，同理ba≥ ，即可證明ab+ba＞1．
【考點精析】通過靈活運用函數的最值及其幾何意義，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值即可以解答此題．