Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，橢圓C：離心率為，其短軸長為2．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）如圖，A為橢圓C的左頂點，P，Q為橢圓C上兩動點，直線PO交AQ于E，直線QO交AP于D，直線OP與直線OQ的斜率分別為，，且， ，（為非零實數），求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意，求得，由，得，再利用，即可求得，得到橢圓的標準方程；

（2）由（1），設，因為，得到，

兩邊同時乘以得，，得到，，代入橢圓的方程得，同理得，即可得到結論.

（1）解：因為短軸長2b=2，所以b=1，

又離心率，所以，

所以，所以，

所以橢圓C的標準方程為．

（2）由（1），點A，設，

則

因為，所以，

由①得，， 由②得，，

所以，

兩邊同時乘以k1得，，

所以，，

代入橢圓的方程得，，

同理可得，，

所以．