Question

【題目】已知點(diǎn)，分別是橢圓右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，且點(diǎn)是圓的圓心，動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)在線段上，，且當(dāng)取最小值時(shí)直線與圓相切，求的值；

（3）若直線與圓分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

(1) 由點(diǎn)是圓的圓心，，原點(diǎn)到直線的距離為，在中由等面積法有，可求答案.
(2) 設(shè)，則,求出直線的方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，則可得到直線的方程，再由原點(diǎn)到直線的距離為，可求出的值.
(3) 由,可得,求出，，可得,可求出的范圍.

(1)由點(diǎn)是圓的圓心，，則,,則

坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，在中由等面積法有，可得.

所以橢圓的方程為

（2）設(shè)，則

則，則直線的方程為.

將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程，可得

故，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為.

故.

(3)由,可得,將代入橢圓方程得：

，即，故.

又點(diǎn)到直線的距離為，則

所以，

可得

令，則

故取值的范圍是.