Question

【題目】如圖，已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的一個焦點為， 是橢圓上的一個點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設橢圓的上、下頂點分別為， （）是橢圓上異于的任意一點， 軸， 為垂足， 為線段中點，直線交直線于點, 為線段的中點，如果的面積為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：(1)設橢圓方程為,由題意,得,再由是橢圓上的一個點,即可求出橢圓方程;

(2)根據題意,求出直線AB的方程、點M,C,N的坐標,計算,可得,再利用,結合橢圓方程,求解可得結果.

試題解析：（1）設橢圓方程為，由題意，得． 因為，所以．又是橢圓上的一個點，所以，解得或（舍去），從而橢圓的標準方程為．

（2）因為， ，則，且．因為為線段中點， 所以．又，所以直線的方程為．因為令，得． 又， 為線段的中點，有．

所以．

因此，

=．從而．

因為， ，

所以在中， ，因此．從而有，解得．

點晴：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系. 直線和圓錐曲線的位置關系一方面要體現方程思想，另一方面要結合已知條件，從圖形角度求解．聯立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數的關系求解是一個常用的方法. 涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數關系、設而不求法計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數關系、設而不求法簡化運算．