Question

【題目】數列a1 ， a2 ， …，an是正整數1，2，…，n的任一排列，且同時滿足以下兩個條件：
①a1=1；②當n≥2時，|ai﹣ai+1|≤2（i=1，2，…，n﹣1）．
記這樣的數列個數為f（n）．
（ 1）寫出f（2），f（3），f（4）的值；
（ 2）證明f（2018）不能被4整除．

Answer 1

【答案】解：（1）根據題意，①a1=1；②當n≥2時，|ai﹣ai+1|≤2（i=1，2，…，n﹣1）；

則f（2）=1，

f（3）=2，

f（4）=4．

（2）證明：把滿足條件①②的數列稱為n項的首項最小數列．

對于n個數的首項最小數列，由于a1=1，故a2=2或3．

①若a2=2，則a2﹣1，a3﹣1，…，an﹣1構成n﹣1項的首項最小數列，其個數為f（n﹣1）；

②若a2=3，a3=2，則必有a4=4，故a4﹣3，a5﹣3，…，an﹣3構成n﹣3項的首項最小數列，其個數為f（n﹣3）；

③若a2=3，則a3=4或a3=5．設ak+1是這數列中第一個出現的偶數，則前k項應該是1，3，…，2k﹣1，ak+1是2k或2k﹣2，即ak與ak+1是相鄰整數．

由條件②，這數列在ak+1后的各項要么都小于它，要么都大于它，因為2在ak+1之后，故ak+1后的各項都小于它．

這種情況的數列只有一個，即先排遞增的奇數，后排遞減的偶數．

綜上，有遞推關系：f（n）=f（n﹣1）+f（n﹣3）+1，n≥5．

由此遞推關系和（ I）可得，f（2），f（3），…，f（2018）各數被4除的余數依次為：

1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…

它們構成14為周期的數列，又2018=14×144+2，

所以f（2018）被4除的余數與f（2）被4除的余數相同，都是1，

故f（2018）不能被4整除

【解析】（1）利用列舉法求函數f（2），f（3），f（4）的值；（2）根據所給條件列出函數f（n）前幾個值，進而得到函數值的特點，再根據特點進行證明命題.