Question

【題目】已知過橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓的中心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（為橢圓的焦距）.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點(diǎn)，且交橢圓于點(diǎn)的直線，滿足.若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在滿足題意的直線，方程為或.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的求解方法可得，結(jié)合直線過焦點(diǎn)和橢圓關(guān)系可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）通過可求得；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易知滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，假設(shè)其方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求得，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得原點(diǎn)到直線距離，由構(gòu)造方程求得；綜合兩種情況得到最終結(jié)果.

（1）將代入直線方程，解得：，.

設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得：，

，解得：，，

橢圓的方程為：.

（2），.

①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，代入橢圓方程得：，

，，滿足題意；

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，

代入橢圓方程得：，

設(shè)，，則，，

，

又點(diǎn)到直線的距離，

，解得：，

直線方程為；

綜上所述：存在滿足題意的直線，方程為或.