Question

【題目】在底面為正三角形的直三棱柱中，已知AB=AA1，點M為的中點.

（1）求證：

（2）點P為的中點，求二面角P-AB-M的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取的中點,連接,則,由平面平面可得,利用平面圖形的性質可證得,進而得證；

（2）取的中點為原點,建立空間直角坐標系,設,分別求得平面和平面的法向量,進而利用余弦定理求解即可.

（1）證明:取的中點,連接,則,

又平面平面,

所以平面,所以,

因為,是等邊三角形,

所以,,

所以,所以,

又,

所以平面,所以.

（2）取的中點為原點,如圖建立空間直角坐標系,

設,則,,,,

所以,,,

設平面的法向量,平面的法向量,

由,即,令,則,,即,

由,即,令,則,,即

設所求的角為,則,

由圖可知,所求的角為銳角,

所以所求角的余弦值為.