Question

【題目】如圖，將邊長為2的正方形沿對角線折疊，使得平面平面，又平面.

（1）若，求直線與直線所成的角；

（2）若二面角的大小為，求的長度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題意可知，AB⊥AD, AE⊥平面ABD，以A為原點，AB、AD、AE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，作，垂足為，可得，得到C點坐標，利用向量法能求得，即可得到所求角．

（2）設的長度為，則，由題意知平面，可得平面的一個法向量為，再求得平面的法向量為， ，解得a即可.

∵正方形邊長為2 ∴，，

又平面，∴以點為原點，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系．

作，垂足為，∵平面平面，平面，平面平面，∴平面∵ ∴點為的中點，，

（1）∵

∴，，，，

∴， ∴

∴ ∴直線與直線所成角為；

（2）設的長度為，則

∵平面 ∴平面的一個法向量為

設平面的法向量為，又，

∴， ∴，解得：，取，則，

∴平面的一個法向量為

∴

∵二面角的大小為 ∴，解得：

∴的長度為．