Question

【題目】[選修4-5:不等式選講]已知函數f(x)=log ( |x + 1| + |x- 1|- a ).

(I)當a=3時，求函數f(x)的定義域;

(Ⅱ)若不等式f（x）的解集為R，求實數a的最大值.

Answer 1

【答案】（1）{x|x<-或x>}.（2）-2

【解析】試題分析：（1）先根據絕對值定義將絕對值不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）根據絕對值三角不等式可得|x+1|+|x-1|最小值，再解不等式可得實數a的范圍，即得a的最大值.

試題解析：解:(I)當a=3時,函數f(x)=log (|x+1|+|x-1|-a)=log (|x+1|+|x-1|-3),

∴|x+1|+|x-1|-3>0,即|x+1|+|x-1|>3

∴或或.

解得x<-或x>.

故函數的定義域為{x|x<-或x>}.

(Ⅱ)若不等式f(x)≥2的解集為R,則f(x)≥2恒成立.

故|x+1|+|x-1|-a≥4恒成立.

∵|x+1|+|x-1|≥|x+1-(x-1)|=2,(當且僅當-1≤x≤1時,取“=”)

∴2-a≥4,故有a≤-2,故實數a的最大值為-2.