Question

【題目】已知 是定義在 上的偶函數，對任意 ，都有 ，且當 時， .若 在 上有5個根 ，則 的值是（ ）
A.10
B.9
C.8
D.7

Answer 1

【答案】A
【解析】令 ，則方程可化為 ，依據題設問題轉化為該方程有一個正實數根和一個負實數根。因為若該方程有兩個正實數根，則原方程會有對應的八個實數根，所以要使原方程有五個實數根，須該方程有一個正實數根 和一個實數根 。運用題設條件可得 ，則函數 是周期 的周期函數。依據周期性與對稱性畫出該函數在區間 上的圖象如上圖，結合圖形可以看出：當該方程有一個正實數根時，其所有根（共4根）之和為 ，當有一個負實數根 時，原方程只有一個根 ，故原方程的所有實數根之和為 ， 故答案為：A。

根據題設條件中的函數構成的方程有五個根，利用函數圖像的對稱性、奇偶性、作出函數在區間 [ 1 , 5 ] 上的圖象，然后再借助對稱性分析探求根的和即可得出結果。