Question

【題目】已知函數f（x）=2x+cosα﹣2﹣x+cosα ， x∈R，且 ．
（1）若0≤α≤π，求α的值；
（2）當m＜1時，證明：f（m|cosθ|）+f（1﹣m）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解： ， ，

由0≤α≤π，

∴

（2）解：證明：∵m＜1，若|cosθ|≠1，則 ，

∴ ，m（|cosθ|﹣1）＞﹣1，m|cosθ|＞m﹣1，

又|cosθ|=1時左式也成立，∴m|cosθ|＞m﹣1

由（1）知， ，在x∈R上為增函數，且為奇函數，

∴f（m|cosθ|）＞f（m﹣1）∴f（m|cosθ|）+f（1﹣m）＞0

【解析】（1）由f（1），解方程和特殊三角函數值，即可得到；（2）運用余弦函數的性質和參數分離，結合函數的單調性和奇偶性，即可得證．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能得出正確答案．