Question

【題目】在等比數列{an}中，a1=2，a3，a2+a4，a5成等差數列.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）若數列{bn}滿足b1++…+=an（n∈N*），{bn}的前n項和為Sn，求使Sn﹣nan+6≥0成立的正整數n的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】

試題分析：（1）將已知條件轉化為等差數列首相和公差表示可求得公差的值，從而確定通項公式；（2）由數列{bn}滿足b1++…+=an ，b1++…++=an+1，可求得{bn}的通項公式，進而求得前n項和Sn，代入解不等式Sn﹣nan+6≥0可得n值

試題解析：（1）∵等比數列{an}中，a1=2，a3，a2+a4，a5成等差數列.

∴2（a2+a4）=a3+a5，

即2（a2+a4）=q（a2+a4），

∴q=2，

則an=a1qn﹣1=2×2n﹣1=2n，

即；

（2）∵數列{bn}滿足b1+，

∴b1++…++=an+1，

兩式相減得=an+1﹣an=2n+1﹣2n=2n，

則bn+1=（n+1）2n，即bn=n2n﹣1，n≥2，

當n=1時，b1=a1=2，不滿足bn=n2n﹣1，n≥2.

即bn=.

當n=1時，不等式等價為S1﹣a1+6=6≥0成立，

當n≥2時，

Sn=2+221+322+423+…+n2n﹣1，①

則2Sn=4+222+323+424+…+n2n，②

②﹣①，得Sn=2+221﹣22﹣23﹣24﹣…﹣2n﹣1+n2n=6﹣+n2n=6+n2n=6+4﹣2n+1+n2n=10+（n﹣2）2n，

則當n≥2時，不等式Sn﹣nan+6≥0等價為10+（n﹣2）2n﹣n2n+6≥0，

即16﹣22n≥0，則2n≤8，得n≤3，

則n的最大值是3.