Question

【題目】已知數列{an}滿足：a1=1，an+1﹣ansin2θ=sin2θcos2nθ．
（Ⅰ）當θ= 時，求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若數列{bn}滿足bn=sin ，Sn為數列{bn}的前n項和，求證：對任意n∈N* ， Sn＜3+ ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：當 時， ， ，

∴{2n﹣1an}是以1為首項、1為公差的等差數列，2n﹣1an=n，

從而 ．

（Ⅱ）證明： ，

∴當n=1，2，3時， ；

當n≥4時，∵ ， ，

令 ，

兩式相減得 ，

．

綜上所述，對任意

【解析】（1）當 時， ， ，利用等差數列的通項公式即可得出；（2）由（1）可得：an= ，可得 ，可得當n=1，2，3時，不等式成立；當n≥4時，由于 ，利用“錯位相減法”、等比數列的前n項函數公式即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．