Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的一個側面PAD為等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=2，AB=4，BD=2
（1）求證；PA⊥BD
（2）求二面角D﹣BC﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABD中，AD⊥DB，

由平面PAD⊥平面ABCD，∴BD⊥面PAD，∴DB⊥PA

（2）解：二面角D﹣BC﹣P的余弦值即二面角A﹣BC﹣P的余弦值，

作PO⊥AD于O，則PO⊥面ABCD．

過O作OE⊥BC于E，連接PE，則∠PEO為二面角A﹣BC﹣P的平面角．

又△PEO中，PO= ，OE=DB=2 ，故PE= ，

cos∠PEO= ，

∴二面角D﹣BC﹣P的余弦值為 ．

【解析】（1）由面面垂直的性質得BD⊥面PAD，即可證得DB⊥PA．（2）二面角D﹣BC﹣P的余弦值即二面角A﹣BC﹣P的余弦值，作PO⊥AD于O，則PO⊥面ABCD．過O作OE⊥BC于E，連接PE，則∠PEO為二面角A﹣BC﹣P的平面角，在△PEO中，求得cos∠PEO= ，即可得二面角D﹣BC﹣P的余弦值
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．