Question

已知函數，，且在點
處的切線方程為.
（1）求的值；
（2）若函數在區間內有且僅有一個極值點，求的取值范圍；  
（3）設為兩曲線，的交點，且兩曲線在交點處的切線分別為.若取，試判斷當直線與軸圍成等腰三角形時值的個數并說明理由.

Answer 1

（1） ；（2） ；（3）2個

試題分析：（1）由函數，在點處的切線方程為.所以對函數求導，根據斜率為1以及過點（1,0）兩個條件即可求出結論.
（2）由函數，對函數求導，并令可解得兩個根，由于函數在區間內有且僅有一個極值點，的根在內有且僅有一個根.所以通過分類討論即可求的取值范圍.
（3）兩曲線在交點處的切線分別為.若取，當直線與軸圍成等腰三角形時.通過求導求出兩函數的切線的斜率，即可得到這兩斜率不可能是相等，所以依題意可得到兩切線傾斜角有兩倍的關系，再通過解方程和函數的單調性的判斷即可得到結論.
（1），∴，又，
∴．                                              3分
（2）；
∴
由得，
∴或．                                          5分
∵，當且僅當或時，函數在區間內有且僅有一個極值點．                                                 6分
若，即，當時；當時，函數有極大值點，
若，即時，當時；當時，函數有極大值點，
綜上，的取值范圍是．              8分
（3）當時，設兩切線的傾斜角分別為，
則，
∵， ∴均為銳角，                        9分
當，即時，若直線能與軸圍成等腰三角形，則；當，即時，若直線能與軸圍成等腰三角形，則．
由得，，
得，即，
此方程有唯一解，直線能與軸圍成一個等腰三角形．  11分
由得， ，
得，即，
設，，
當時，，∴在單調遞增，則在單調遞
增，由于，且，所以，則，
即方程在有唯一解，直線能與軸圍成一個等腰三角形． 
因此，當時，有兩處符合題意，所以直線能與軸圍成等腰三角形時，值的個數
有2個．                                                   14分