Question

【題目】定義在R上的函數f（x）＝|x2﹣ax|（a∈R），設g（x）＝f（x+l）﹣f（x）.

（1）若y＝g（x）為奇函數，求a的值：

（2）設h（x），x∈（0，+∞）

①若a≤0，證明：h（x）＞2：

②若h（x）的最小值為﹣1，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）a＝1（2）①證明見解析②（1，+∞）

【解析】

（1）根據函數是定義在上的奇函數，令，即可求出的值；

（2）①先去絕對值，再把分離常數即可證明；

②根據的最小值為，分和兩種情況討論即可得出的取值范圍.

（1）∵g（x）＝|（x+1）2﹣a（x+1）|﹣|x2﹣ax|，

一方面，由g（0）＝0，得|1﹣a|＝0，a＝1，

另一方面，當a＝1時，g（x）＝|（x+1）2﹣a（x+1）|﹣|x2﹣x|＝|x2+x|﹣|x2﹣x|，

所以，g（﹣x）＝|x2﹣x|﹣|x2+x|＝﹣g（x），即g（x）是奇函數.

綜上可知a＝1.

（2）（i）∵a≤0，x＞0，x+1＞0，

所以h（x）

2，

∵1﹣a＞0，x＞0，

∴h（x）＞2.

（ii）由（i）知，a＞0，

情形1：a∈（0，1]，此時

當x∈（a，+∞）時，有2，

當x∈（0，a]時，有h（x），

由上可知此時h（x）＞0不合題意.

情形2：a∈（1，+∞）時，

當x∈（0，a﹣1）時，有h（x），

當x∈[a﹣1，a）時，有h（x）

當x∈[a，+∞）時，有h（x），

從而可知此時h（x）的最小值是﹣1，

綜上所述，所求a的取值范圍為（1，+∞）.