Question

【題目】已知橢圓C： （＞b＞0）的左、右頂點分別為A1、A2，上、下頂點分別為B2、B1，O為坐標原點，四邊形A1B1A2B2的面積為4，且該四邊形內切圓的方程為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若M、N是橢圓C上的兩個不同的動點，直線OM、ON的斜率之積等于，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用四邊形的面積求得，再利用直線和圓相切進行求解；（Ⅱ）設出直線方程，聯立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系、直線的斜率公式和三角形的面積公式進行求解.

試題解析：（Ⅰ）∵四邊形A1B1A2B2的面積為4，又可知四邊形A1B1A2B2為菱形，

∴，即ab=2①

由題意可得直線A2B2方程為：，即bx+ay﹣ab=0，

∵四邊形A1B1A2B2內切圓方程為，

∴圓心O到直線A2B2的距離為，即②

由①②解得：a=2，b=1，∴橢圓C的方程為：

（Ⅱ）若直線MN的斜率存在，設直線MN的方程為y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

由得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直線l與橢圓C相交于M，N兩個不同的點，

∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③

由韋達定理：

∵直線OM，ON的斜率之積等于，

∴，

∴，

∴2m2=4k2+1滿足③…（9分）

∴，

又O到直線MN的距離為，，

所以△OMN的面積

若直線MN的斜率不存在，M，N關于x軸對稱

設M（x1，y1），N（x1，﹣y1），則，，

又∵M在橢圓上，，∴，

所以△OMN的面積S===1．

綜上可知，△OMN的面積為定值1.