Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率e= ，并且經(jīng)過定點(diǎn)P（ ， ）． （Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）問是否存在直線y=﹣x+m，使直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，滿足OA⊥OB，若存在求m值，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意：e= = ，且 ， 解得：a=2，b=1，∴橢圓E的方程為
（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
由題意得 （*）
所以 =
由
得
又方程（*）要有兩個(gè)不等實(shí)根，
m的值符合上面條件，所以
【解析】（Ⅰ）利用橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率e= ，并且經(jīng)過定點(diǎn)P（ ， ），建立方程，求出a，b，即可求橢圓E的方程；（Ⅱ）直線y=﹣x+m代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合 ，即可求m值．