Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx． （Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＞0時，若f（x）在區間[1，e]上的最小值為﹣2，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意x1 ， x2∈（0，+∞），當x1≠x2時有 ＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x2﹣3x+lnx， ． ∵f′（1）=0，f（1）=﹣2，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=﹣2；
（Ⅱ）函數f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx的定義域是（0，+∞）．
當a＞0時， ，（x＞0）．
令f′（x）=0，即 ．
∴ 或 ．
當 ，即a≥1時，f（x）在[1，e]上單調遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=﹣2；
當 時，f（x）在[1，e]上的最小值是 ，不合題意；
當 時，f（x）在（1，e）上單調遞減，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=﹣2，不合題意．
綜上，a≥1；
（Ⅲ）設g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax2﹣ax+lnx，
由題意可知只要g（x）在（0，+∞）上單調遞增即可．
而 ．
當a=0時， ，此時g（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a≠0時，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
因為x∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，則需要a＞0，
對于函數y=2ax2﹣ax+1，過定點（0，1），對稱軸 ，
只需△=a2﹣8a≤0，
即0＜a≤8．
綜上0≤a≤8．
【解析】（Ⅰ）把a=1代入函數解析式，求導后求出f′（1），同時求出f（1），由點斜式寫出切線方程；（Ⅱ）求出函數的定義域，求出原函數的導函數，進一步求出導函數的零點 ， ，分 ≤1，1＜ ＜e及 三種情況討論原函數的單調性，由f（x）在區間[1，e]上的最小值為﹣2求解a的取值范圍；（Ⅲ）構造輔助函數g（x）=f（x）+2x，問題轉化為函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，求解a的范圍．把函數g（x）求導后分a=0和a≠0討論，a≠0時借助于二次函數過定點及對稱軸列式求解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．