Question

【題目】函數f（x）= 是定義在（﹣1，1）上的奇函數，且f（ ）= ．
（1）確定函數f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（﹣1，1）上是增函數；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得 ，

由此可解得 ，

∴ ．

（2）證明：設﹣1＜x1＜x2＜1，

則有 ，

∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0， ， ，1﹣x1x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（﹣1，1）上是增函數．

（3）f（t﹣1）+f（t）＜0，

∴f（t﹣1）＜﹣f（t），即f（t﹣1）＜f（﹣t），

∵f（x）在（﹣1，1）上是增函數，

∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，

解之得 ．

【解析】(1)由待定系數法可求出函數的解析式。（2)根據函數增減性的定義證明即可。（3）整理化簡原式由函數的奇偶性以及函數的單調性可得到關于t的不等式解出即可。
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．