Question

【題目】已知函數：f（x）＝x2﹣mx﹣n（m, n∈R）．

（1）若m+n＝0，解關于x的不等式f（x）≥x（結果用含m式子表示）；

（2）若存在實數m，使得當x∈[1，2]時，不等式x≤f（x）≤4x恒成立，求實數n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）[﹣4，8]．

【解析】

（1）由題意可得，分類討論，，，結合二次不等式的解法可得所求解集；

（2）由題意可得對恒成立，即存在實數，使得對恒成立，考慮在單調性，可得的不等式，即可得到的取值范圍.

（1）由x≤x2+mx﹣m，即（x+m）（x﹣1）≥0，

①m＝﹣1時，可得x∈R；

②m＜﹣1時，﹣m＞1，可得解集為（﹣∞，1]∪[﹣m，+∞）；

③m＞﹣1時，﹣m＜1，可得解集為（﹣∞，﹣m]∪[1，+∞）；

（2）x∈[1，2]時，x≤x2+mx+n≤4x恒成立，

即為1≤xm≤4對x∈[1，2]恒成立，

即存在實數m，使得﹣x1≤m≤﹣x4對x∈[1，2]恒成立，

∴（﹣x1）max≤（﹣x4）min，

當時，由在[1，2]遞減，

∴﹣n≤2，即n≥﹣4，

當時，由在[1，2]遞減，

∴﹣n≤2，即n≥﹣4，

當時，由在[1，2]遞增，

∴，

當時，由在[1，2]先增后減，

∴或，

綜上，實數n的取值范圍：[﹣4，8]．