Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 ，E，F分別是AD，PC的中點．

（1）證明：PC⊥平面BEF；
（2）求平面BEF與平面BAP所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

∵AP=AB=2，BC=AD=2 ，四邊形ABCD是矩形，

∴A，B，C，D，P的坐標為A（0，0，0），B（2，0，0），

C（2，2 ，0），D（0，2 ，0），P（0，0，2）．

又E，F分別是AD，PC的中點，∴E（0， ，0），F（1， ，1）．

∴ =（2，2 ，﹣2）， =（﹣1， ，1）， =（1，0，1）．

∴ =﹣2+4﹣2=0， =2+0﹣2=0．

∴ ⊥ ， ⊥

∴PC⊥BF，PC⊥EF．又BF∩EF=F，

∴PC⊥平面BEF

（2）解：由（1）知平面BEF的一個法向量 = =（2，2 ，﹣2），

平面BAP的一個法向量 = =（0，2 ，0），∴ ．

設平面BEF與平面BAP的夾角為θ，

則cosθ=|cos |= = = ，

∴平面BEF與平面BAP所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）先建立適當的空間直角坐標系，再求得相關點的坐標，進而利用向量證明PC⊥BF，PC⊥EF，進而證得PC⊥平面BEF；（2）兩個平面法向量所成夾角的余弦值的絕對值為這兩個平面所成的銳二面角，故求得兩平面的法向量即可解題.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．