Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當時，證明：函數(shù)的零點與函數(shù)的零點之和小于3；

（2）若對任意， ， ，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析.（2）

【解析】試題分析：（1）分別確定函數(shù)的零點與函數(shù)的零點，由題意，易證明題意；

（2）對任意， ， 等價于兩個函數(shù)值域的交集為空集，討論的情況，明確函數(shù)的單調(diào)性得到其值域，列出不等式組，解得的取值范圍.

試題解析：

（1）證明： 的零點為，當時， 的零點為0， ，

∵，且當時，0，∴，

∴函數(shù)零點與函數(shù)的零點之和小于3.

（2）解：當時， .

若， ，滿足題意.

若， ，

當即時， 在上單調(diào)遞增，∴，

∵，∴，

∴，即.

當即時， 在上單調(diào)遞減，∴，

∵，∴，

∴滿足題意.

當即時， ，

且，則,

∴，又，∴.

綜上， 的取值范圍為