Question

【題目】設(shè)，，且G具有下列兩條性質(zhì)：（1）對(duì)任何，恒有；（2）.試證明：G中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)，且G中所有數(shù)的平方和為定值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

注意到200+1=199+2=198+3=…=101+100=201，而

所以可將集合E劃分為100個(gè)子集：

則G的元素只能在這100個(gè)子集中各取1個(gè).

為了討論G中奇數(shù)的個(gè)數(shù)，再將這100個(gè)子集分成兩類：

一類的特征是：每個(gè)子集中，偶數(shù)是4k型，奇數(shù)是4k+1型的

有

另一類的特征是：每個(gè)子集中，偶數(shù)是4k+2型，奇數(shù)是4k+3型的

有

設(shè)G的100個(gè)元素中有4k+1型的奇數(shù)x個(gè)，4k+3型的奇數(shù)y個(gè)

則G中有4K型的偶數(shù)50-x個(gè)，4k+2型的偶數(shù)50-y個(gè)

于是G中奇數(shù)的個(gè)數(shù)共有x+y.

由

故.

下面證明G中所有數(shù)的平方和為定值.

設(shè)有兩個(gè)符合題設(shè)條件的不同集合

和

若中有100-k個(gè)元素，其和為m

則關(guān)于的補(bǔ)集有k個(gè)元素，從小到大排成

關(guān)于的補(bǔ)集也有k個(gè)元素，從大到小排成

于是必有

故

即

所以，G中所有數(shù)的平方和為定值.