Question

【題目】如圖，設橢圓C： （a＞b＞0），動直線l與橢圓C只有一個公共點P，且點P在第一象限．
（Ⅰ）已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點P的坐標；
（Ⅱ）若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1的距離的最大值為a﹣b．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設直線l的方程為y=kx+m（k＜0），由 ，消去y得
（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．
由于直線l與橢圓C只有一個公共點P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2=0，
此時點P的橫坐標為﹣ ，代入y=kx+m得
點P的縱坐標為﹣k +m= ，
∴點P的坐標為（﹣ ， ），
又點P在第一象限，故m＞0，
故m= ，
故點P的坐標為P（ ， ）．
（Ⅱ）由于直線l1過原點O且與直線l垂直，故直線l1的方程為x+ky=0，所以點P到直線l1的距離
d= ，
整理得：d= ，
因為a2k2+ ≥2ab，所以 ≤ =a﹣b，當且僅當k2= 時等號成立．
所以，點P到直線l1的距離的最大值為a﹣b．

【解析】（Ⅰ）設直線l的方程為y=kx+m（k＜0），由 ，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，利用△=0，可求得在第一象限中點P的坐標；（Ⅱ）由于直線l1過原點O且與直線l垂直，設直線l1的方程為x+ky=0，利用點到直線間的距離公式，可求得點P到直線l1的距離d= ，整理即可證得點P到直線l1的距離的最大值為a﹣b．．