Question

【題目】已知函數f（x）φ）﹣cos（ωx+φ）（），x＝0和x是函數的y＝f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸．

（1）求f（）的值；

（2）將y＝f（x）的圖象向右平移個單位后，再將所得的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y＝g（x）的圖象，求y＝g（x）的單調區間，并求其在[]上的值域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）[4kπ，4kπ]k∈Z，值域為．

【解析】

（1）通過兩角差的正弦函數化簡函數的表達式，求出函數的周期，利用函數是偶函數求出，然后求解的值．（2）由函數圖象的變換可求，利用余弦函數的單調性可求的單調區間，由，結合函數的單調性可求最大值．

（1）函數f（x）sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）＝2sin（ωx+φ），

因為函數是偶函數，

所以φkπ，k∈Z，解得：φ＝kπ，k∈Z，

∵φ＜0，

∴φ．

函數y＝f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為，

所以T＝π，Tπ，所以ω＝2；

f（x）＝2sin（2x）＝﹣2cos2x，

則f（）＝﹣2cos（2）＝﹣2cos（）；

（2）由函數圖象的變換可知，y＝g（x）＝﹣2cos（x），

由2kπx2kπ+π，k∈Z，解得：4kπx≤4kπ，k∈Z，

即函數y＝g（x）的單調遞增區間為：[4kπ，4kπ]k∈Z，

由2kπ+πx2kπ+2π，k∈Z，解得：4kπx≤4kπ，k∈Z，

即函數y＝g（x）的單調遞減區間為：[4kπ，4kπ]k∈Z，

∵x∈，

∴結合函數的單調性可知：

當x0，即x時，y＝g（x）最小值為﹣2，

當x，即x時，y＝g（x）最大值為0.

所以函數的值域為．