Question

【題目】（本小題滿分10分）設個正數滿足（且）．

（1）當時，證明：；

（2）當時，不等式也成立，請你將其推廣到（且）個正數的情形，歸納出一般性的結論并用數學歸納法證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析，（2）（且）．

【解析】

試題分析：（1）由于與積為，所以利用基本不等式進行證明：，，，三式相加得，即（2）本題結構對稱，易于歸納出，用數學歸納法證明時的難點在于明確時式子與式子關系：其差為，問題轉化為證明，這可利用作差，因式分解得證.

試題解析：（1）證明：因為（且）均為正實數，

左—右=

=0，

所以，原不等式成立． 4分

（2）歸納的不等式為：

（且）． 5分

記，

當（）時，由（1）知，不等式成立；

假設當（且）時，不等式成立，即

．

則當時，

= 7分

=

=，

因為，，，

所以，

所以當，不等式成立． 9分

綜上所述，不等式（且）成立． 10分