【題目】已知橢圓
： 
的左，右焦點分別為
， 
，離心率為
， 
是橢圓
上的動點，當
時， 
的面積為
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若過點
的直線交橢圓
于
， 
兩點，求
面積的最大值.
【答案】(1) 
.
(2) 
.
【解析】試題分析：（1）設橢圓
的半焦距為
，根據離心率和在
中余弦定理，列出方程，求得
，即可得到橢圓的方程；
（2）設直線
的方程為
，聯立方程組，求得則
，利用弦長公式求得
，在由點到直線的距離公式，求得點
到直線
的距離為
，即可得到三角形面積的表達，再利用基本不等式，即可求解面積的最大值.
試題解析：
（1）設橢圓
的半焦距為
，
因為橢圓
的離心率為
，
所以
.①
在
中， 
，由余弦定理，
得
，
得
，
得
，
即
，
所以
.
因為
的面積
，
所以
，即
.②
又
，③
由①②③，解得
， 
， 
.
所以橢圓
的標準方程為
.
（2）設直線
的方程為
， 
， 
，
聯立
得
，
由
，得
.
則
， 
.
由弦長公式，得
.
又點
到直線
的距離為
，
所以
.
令
，則
.
所以
，
當且僅當
，即
， 
時取等號.
所以
面積的最大值為
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有次水下考古活動中，潛水員需潛入水深為30米的水底進行作業，其用氧量包含以下三個方面：①下潛時，平均速度為每分鐘
米，每分鐘的用氧量為
升；②水底作業需要10分鐘，每分鐘的用氧量為0.3升；③返回水面時，速度為每分鐘
米，每分鐘用氧量為0.2升；設潛水員在此次考古活動中的總用氧量為
升；
（1）將表示為的函數；
（2）若
，求總用氧量的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知函數
（1）若
，用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數
在
上的圖象.
（2）若偶函數，求
:
（3）在（2）的前提下，將函數
的圖象向右平移
個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的
倍，縱坐標不變，再向上平移一個單位得到函數
的圖象，求
的對稱中心.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）
φ）﹣cos（ωx+φ）（
），x＝0和x
是函數的y＝f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸．
（1）求f（
）的值；
（2）將y＝f（x）的圖象向右平移
個單位后，再將所得的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y＝g（x）的圖象，求y＝g（x）的單調區間，并求其在[
]上的值域．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
的圓心在直線
.
(1)若圓與
軸的正半軸相切,且該圓截
軸所得弦的長為
,求圓的標準方程;
(2)在(1)的條件下,直線
與圓交于兩點
,
,若以
為直徑的圓過坐標原點
,求實數
的值;
(3)已知點
,圓的半徑為3,且圓心在第一象限,若圓上存在點
,使
(為坐標原點),求圓心的縱坐標的取值范圍.
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